B.A.Ⅱ 2.4若尔当标准型

1.哈密顿-凯莱定理

1. 定理1 线性算子的矩阵总能(在相似意义下)转化成三角形式
2. 定理2(哈密顿-凯莱定理) 线性算子和它(在任意基底之下)对应的矩阵必然零化自己的特征多项式,,也就是
3. 推论 线性算子的极小多项式,是其特征多项式的一个因子,而 可以被所有的线性因子整除,.
4. 定义：我们称矩阵 为特征值对应的阶(或阶)的(上)若尔当块.
5. 一个矩阵,若它的对角线由若尔当块组成,且这些块之外均为0: 则被称为若尔当矩阵.
6. 线性算子,在的一个基底之下,对应的矩阵是若尔当矩阵,或者如常说的,有若尔当标准型,则称这个基底为若尔当基底.
7. 把求解矩阵方程式称之为把矩阵化成若尔当标准型,其中是(未知的)非退化矩阵,而是(未知的)若尔当矩阵

若尔当标准型:定理与推论

1. 基本定理 代数闭域上(特别地,上)的任意一个阶方阵都可以化成若尔当标准型,即存在非退化矩阵使得是个若尔当矩阵,不计小块之间的置换,矩阵的若尔当标准型是唯一的.
2. 矩阵可对角化(也就是它相似于矩阵的充要条件是在中不存在>1阶的若尔当块
3. 推论 域上方阵可化成对角型,当且仅当,它的极小多项式没有重根 # 根子空间
4. 定义2 向量集合 被称为特征值对应的根子空间
5. 定理3 设 是以 为特征多项式的线性算子。那么， 是根子空间 的直和，它们之间的每一个都是对 不变的，且具有维数 。算子 在 上是幂零算子。且以非退化方式作用在子空间上。最后， 是算子 的唯一一个特征值。

幂零算子的情形

1. 定义3 称线性包络 是与幂零指数为的算子和向量相关联的循环子空间，设是使的最小的自然数
2. 定理4 幂零矩阵B的若尔当标准型存在(基础域是任意的)